1月的挣扎日记

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rt，想起来是1月了，但是期末迫在眉睫，所以就不叫数学日记，改为为了活下去的挣扎日记，内容会包括我期末考试要考的课程内容，我看的书、电影。本来上个月想着看完金刚经心经坛经，佛陀转和悉达多，但佛陀转实在不好看，忍着看了上半本，看不下去了，所以后面两本就全没看，金刚经看了一点，这个月继续看

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ε epsilon
δ delta
ρ rho

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全微分的式子：
设z=f(x,y)，则dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dx
可微判断方法：
题目一般为函数z=f(x,y)在点M(x0,y0)可不可微
1.计算fx(x0,y0)和fy(x0,y0)是否都存在
2.假如都存在，则计算
fun=(f(x,y)-f(x0,y0)-∂f/∂x*(x-x0)-∂f/∂y*(y-y0))/sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2)
limit(fun,x,x0,y,y0)是否等于0，为0则是可微
其中，计算这种二重极限的时候，方法是通过设y=kx，代入式子，看在不同的k的取值下是否相等，相等则是它的极限值，不相等则极限不存在，例如计算limit(x*y/(x^2+y^2),x,0,y,0)，我们设y=kx，得到limit(k*x^2/((k^2+1)*x^2),x,0)，上下可删x^2, 得k/(k^2+1)，会因为k的不同得到不同的值，所以极限不存在
链式法则：
画出一层层的导数关系图，遍历所有的有关的要求偏导的式子，例如z=u^2+v^2，u=xy，v=x/y，可以画为
z[u(x,y),v(x,y)]，当求∂z/∂x时，所求=(∂z/∂u)*(∂u/∂x)+(∂z/∂v)*(∂v/∂x)
还有例如z=f(x,x/y)，求∂f/∂x，可写为f1'+f2'*(1/y)
求∂(∂f/∂x)/∂x，即对f1'+f2'*(1/y)进行偏导，明白f1'=a(x,x/y)，f2'一样，所以可解为f11''+f12''*(1/y)+(1/y)*(f21''+f22''*(1/y))
计算梯度和方向导数：
计算梯度分为两步，1.计算梯度向量，表示为(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)，2.梯度等于sqrt((∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2+(∂f/∂z)^2)
方向导数分为三步，1.求梯度向量，2.单位化方向向量，即(a,b,c)/sqrt(a^2+b^2+c^2)，3.方向导数=梯度向量*(a,b,c)/sqrt(a^2+b^2+c^2)，x轴和x轴乘，y轴和y轴相乘，z轴和z轴相乘

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隐函数导数：
有方程F(x,y)=0，求dy/dx
两个方法，1.将y和x视为相关联的，即y视为y(x)，再对x进行求导。2.将y和x视为独立的，运用公式dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)，上下颠倒的那种
同样对于三元函数F(x,y,z)=0，求∂z/∂x，同样两个方法，1.将z视为与x和y相关联的，即z(x,y)，而x和y视为独立的，对x求偏导，这样单独的y都会被消掉，2.将三个都视为独立的，套公式，∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)
隐函数组导数：
一般形式为向量[F1(x,y,u,v)=0;F2(x,y,u,v)=0]，我们要求∂u/∂x，∂u/∂y等，求法为视u和v为与x和y相关的函数，即u(x,y)和v(x,y)，对方程组求偏导，得到另一个方程组，解方程组，因为有两个式子，求u和v两个未知量，所以可以解出来
空间曲线的切线和法平面：
我们先知道该如何表示一个空间中的曲线，用点法式，已知曲线的一个点(x0,y0,z0)和这个点的切线向量(a,b,c)，那么曲线就可以写为(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c，对于平面，已知也是点和切线向量，平面表示为a*(x-x0)+b*(y-y0)+c*(z-z0)=0
接下来就是该怎么求切线向量，一般点题目都会给出，空间曲线方程组为[x=x(t);y=y(t);z=z(t)]，切线向量表示为((x0)',(y0)',(z0)')，是已知点的导数，而xyz都会被另一个变量t表示，求对t的导数
而同样，对于空间曲面，它的式子表示为F(x,y,z)=0，我们已知一个点，求它的法线和切面
我们一样，先求出它这个点的法线向量，表示为(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)，然后得到的式子带入点的值，记为(a,b,c)，就是切平面的法线，而切平面表示为a*(x-x0)+b*(y-y0)+c*(z-z0)=0，相当的公式啊
无条件极值：
求一个二元方程的极值点，例如f=3*x*y-x^3-y^3，求它的极值点
1.求它的驻点，通过对两个变量分别求偏导后，会得到一个方程组，通过这个二元方程组会得到x和y的值
对于例题，我们对它求偏导，得到一个方程组[3*y-3*x^2=0;3*x-3*y^2=0]，简化后为[y=x^2;x=y^2]，所以有[x=1;y=1]和[x=0;y=0]两组解，
2.求所求方程的二阶偏导fxx''，fxy''，fyy''
对于例题，得fxx''=-6x，fxy''=3，fyy''=-6y
3.将第一步得到的两组解带入二阶偏导，对于[x=1;y=1]，fxx''=-6，fxy''=3，fyy''=-6，解式子fxx''*fyy''-(fxy'')^2，如果解的大于零，则有极值点，当fxx''<0时是极大值点，当fxx''>0时是极小值点，如果解的等于0，则方法失效，如果解的小于0，则没有极值点，计算后发现fxx''*fyy''-(fxy'')^2>0，有极大值点，为(1,1,1)
对于[x=0;y=0]，fxx''=0，fxy''=3，fyy''=0，fxx''*fyy''-(fxy'')^2<0，所以[x=0;y=0]时不是极值点
条件极值：
对于平面Ax+By+Cz+D=0，已知一个定点(x0,y0,z0)，求它的最小距离
公式：距离d=|Ax0+By0+Cz0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)

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第一类曲线积分，对弧长的曲线积分
形式为


而会有一个xy的参数方程


可以将积分变为int(f(x(t),y(t))*sqrt(x(t)'^2+y(t)'^2),t,α,β)
第一类曲面积分
形式为


会有一个关系式子，或是平面，或是曲面，表示z和xy的关系，例如x+2y+3z=0，z=sqrt(x^2+y^2)，将z用z(x,y)替换，而积分区域为图像在xOy平面上的投影
将积分变为

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寄了

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拿到试卷就笑了，傅立叶、第二型和格林公式三个大题，填空选择两题，证明一题，幸好我编满了，等铡刀打破幻想了

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相关系数ρ(xy)=Bxy/sqrt(DxDy)，Bxy为XY的协方差
协方差公式为Bxy=E((X-Ex)(Y-Ey))
条件期望是在联合分布中的一个随机变量取确定值的时候，是条件概率的期望，是各条件期望相加的平均值
为了理解这个重要的概念，我们先从条件概率开始，条件概率从最直观的离散型看起，它的公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)，即在事件B已经发生的情况下，事件AB同时发生的概率占事件B的概率的多少，然后对于连续性，形式是一样的，写为f(A|B)=f(A,B)/int(f(A,B),A,0,inf)，我们一个个看这个公式的组成部分，f(A,B)是随机变量AB的联合密度函数，两个随机变量数值已经确定的对应的值，int(f(A,B),A,0,inf)是联合密度函数的边缘密度，因为公式中隐含的条件是B的值已经确定，所以就是在对y=B的一个切面上对x进行积分
我们已知密度函数，它是连续型的，求它的期望，所以依旧是套公式，E(A|B)=int(f(A|B)*A,A,0,inf)，上面有f(A|B)=f(A,B)/int(f(A,B),A,0,inf)，可以继续套中套，E(A|B)=int(f(A,B)/int(f(A,B),A,0,inf)*A,A,0,inf)
用matlab语言写的太扭曲了，简直是括号地狱，所以lz手写了一份


有一个重要的性质，重期望原理，是E(E(X|Y))=EX，记住就好，证明我不会

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要理解随机过程，我们还是从随机变量开始，随机变量其实是现实现象与数值标记之间的映射，比如我们知道有一个概念叫样本空间Ω，它的意思是包含实验所有可能会发生的结果的一个集合，而在实验完后，会有许多的实验结果，每个实验结果可以称为一个样本点，记为ω，而从样本点（实验结果）映射到数字标记，这两者间的映射就是随机变量X，或者更熟悉一点，我们甚至可以写成y=f(x)，y代表了被映射的数值，f是映射，x是实验结果（事件），而随机过程就是在样本点ω的基础上再增加一个维度t，我们常将t代表时间，随机过程完整来写就是X(ω,t)，不过貌似我们考虑都是已经固定ω，即固定了事件（样本），而单考虑时间的影响，形成一长串的路径，但另一方面想，我们假如将t视为时间1发生的事件，时间2发生的事件，……，那其实和X(ω)一样啊，头疼

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随机过程X(t,ω)是在固定t的情况下的随机变量，我这里用的是高宏老师的科学网——《随机过程》教科书是如何违反同一律的图，用来理解


我们看到，x轴上的是自变量t，z轴上的是因变量X(t,ω)（虽然图上写的是X1(t)，但是我理解是X(t,ω)），那么躺着的y轴就很明显了，是ω，我们可以理解成空间和时间的双变量，ω代表空间，举例说是不同的ω代表不同的抛硬币实验组，一组手上一个硬币，同时抛，再举例说我们现在可以就当玩galgame，会有不同的剧情分支线，比如有三个可能的样本点ω_1，ω_2，ω_3，我们把ω_1，ω_2，ω_3视为三个可能攻略的女主角，随着剧情（时间t）的发展，女主角们ω_1，ω_2，ω_3会呈现出不同的剧情（状态X(t,ω)）

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一些分布的期望和方差
0-1分布，P{X=1}=p,P{X=0}=1-p,E=p,D=p*(1-p)
二项分布，P{X=m}=n!*p^m*(1-p)^(n-m)/(m!*(n-m)!),E=n*p,D=n*p*(1-p)
泊松分布，P{X=k}=……,E=λ,D=λ
均匀分布，P=1/(b-a),E=(b-a)/2,D=(b-a)^2/12
正态分布，P=……,E=μ,D=σ^2
指数分布，P=λ*exp(-λ*x),E=1/λ,D=1/λ^2

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DX=E(X^2)-EX^2
自相关函数Rx(s,t)=E(X(t)*X(s))=E[X(s))*E(X(t)]+Cov(s,t)
协方差函数Cov(s,t)=E[(X(s)-EXs)*(X(t)-EXt)]=Rx(s,t)-E[X(s))*E(X(t)]

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特征函数公式为E(exp(i*t*x))
泊松分布的特征函数为exp(λ*(exp(it)-1))
指数分布为1/(1-it/λ)

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泊松过程的公式P{X(t+s)-X(t)=n}=exp(-λ*t)*(λ*t)^n/n！
因为很重要，所以我打三遍
P{X(s+t)-X(t)=n}=exp(-λ*t)*(λ*t)^n/n!
P{X(s+t)-X(t)=n}=exp(-λ*t)*(λ*t)^n/n!
P{X(s+t)-X(t)=n}=exp(-λ*t)*(λ*t)^n/n!
泊松分布的特征函数也打三遍
exp(λ*(exp(it)-1))
exp(λ*(exp(it)-1))
exp(λ*(exp(it)-1))
指数分布的特征函数
1/(1-it/λ)
1/(1-it/λ)
1/(1-it/λ)

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我们要理解泊松过程，又要先理解泊松分布，痛苦，学什么亡什么
泊松分布是一个离散型分布，写为P{X(t)=n}=exp(-λ*t)*(λ*t)^n/n!，λ是我们已知的事件发生的平均频率，t是时间，n是我们要计算的接下来会有n次发生事件的数量n，